فاصله اطمینان

فاصله اطمینان

مقدار ميانگين واقعي (μ) يک اندازه گيري، ثابتي است که همواره نامعلوم باقي مي ماند. با اين وجود با کمک نظريه آماري، ميتوان حدودي را اطراف ميانگين حاصل از اندازه گيري  تعيين کرد که بتوان انتظار داشت ميانگين واقعي با درجه احتمال معيني در آن حدود قرار داشته باشد.

براي يک مجموعه داده ها، مقدار فاصله اطمينان تا حدودي به درستی که مورد نظر ما مي باشد بستگي دارد به اين معنا که براي يک پيشگويي کاملا درست، ضروري است فاصله هايی را حول مقدار ميانگين انتخاب کنيم که به اندازه کافي بزرگ باشد تا تمامي مقادير محتمل در اين فاصله قرار داشته باشند.

فاصله اطمينان با استفاده از مقدار محاسبه شده انحراف استاندارد (s) تعيين مي شود. هر چه مقدار انحراف استاندارد محاسبه شده به انحراف استاندارد جامعه نزديک تر باشد، احتمال بيشتري وجود دارد که فاصله اطمينان، مقدار واقعي اندازه ده را پوشش دهد. اگر تعداد اندازه گيري ها N بزرگتر از 20 باشد ميتوان فرض کرد s و σ برابر مي باشند.

بنابراین محدوده ای که بتوانیم قرار گرفتن مقدار حقیقی در داخل آن را بطور مستدل بپذیریم  به عنوان فاصله ی اطمینان و مقدار انتهایی محدوده را حدود اطمینان می نامند.

محاسبه فاصله اطمينان برای نمونه های زیاد (در شرايطي که s تقريب مناسبي از σ است )

حدود اطمينان برای میانگین جامعه از طریق رابطه زیر بدست می آید:

و فاصله اطمینان:

که z با توجه به سطح اطمينان مورد نظر و مطابق جدول زير تعيين ميشود:

---

مثال8:حدود اطمینان 95% و 99% را برای اندازه گیری های زیر بدست آورید.

0.51	0.51	0.51	0.53	0.5	0.51	0.5	0.52	0.53	0.47
0.51	0.53	0.49	0.49	0.49	0.52	0.48	0.52	0.49	0.5
0.49	0.46	0.49	0.49	0.51	0.48	0.49	0.49	0.49	0.47
0.51	0.51	0.5	0.51	0.49	0.51	0.48	0.5	0.51	0.48
0.51	0.5	0.52	0.5	0.51	0.5	0.53	0.5	0.5	0.51

محاسبه فاصله اطمينان با استفاده از نرم افزار Minitab هنگامي که انحراف استاندارد جامعه مشخص باشد.

. Stat\ Basic statistics\ 1-sample-Z 1-

2-نام ستون حاوي داده ها را در قسمت columns in Samples وارد مي کنيم.

3-در قسمت Options سطح اطمينان مورد نظر را وارد ميکنيم .

4-در قسمت deviation Standard مقدار انحراف استاندارد را وارد مي کنيم.

 5-مقدار خروجي شامل مقدار ميانگين، انحراف استاندراد نمونه و فاصله اطمينان مي باشد.

برای حدود 95% برابر است با:

برای حدود 99% برابر است با:

حدود اطمینان 95% برابر خواهد بود با:

حدود اطمینان 99% برابر خواهد بود با:

برای این مثال، جالب است یادآوری شود با اینکه جواب های اندازه گیری های اصلی بین 0.46 و 0.53 متغیر است ولی فاصله اطمینان 99% برای میانگین، بین 0.494 و 0.506 قرار می گیرد.

محاسبه فاصله اطمينان برای نمونه های کم  (در شرايطي که σ نامعلوم است )

وقتی تعداد نمونه ها کم باشد، تردید در بکارگیری s به عنوان برآوردی از σ افزایش می یابد.

برای نمونه های با تعداد اندک، حدود اطمینان با معادله زیر محاسبه می شود:

و فاصله اطمینان:

مثال9:یون سدیم موجود در یک نمونه ادرار، با بکارگیری یک الکترود انتخابی یون اندازه گیری شده است. مقادیر زیر بر حسب میلی مول بر لیتر به دست آمده اند:

102

97

99

98

101

106

حدود اطمینان 95% و 99% برای غلظت یون سدیم چقدر است؟

میانگین و انحراف معیار این مقادیر به ترتیب 100.5 میلی مول بر لیتر و 3.27 میلی مول بر لیتر می باشند. برای 6 اندازه گیری، 5 درجه آزادی وجود دارد. مقدار t₅ برای محاسبه 95 درصد حدود اطمینان از جدول مقادیر کاربردی برابر با 2.57 با حدود اطمینان 95% بوده است.

حدود اطمینان 95% برابر است با:

حدود اطمینان 99% برابر است با:

محاسبه فاصله اطمينان با استفاده از نرم افزار Minitab هنگامي که انحراف استاندارد جامعه مشخص نباشد.

. Stat\ Basic statistics\ 1-sample-t 1-

2-نام ستون حاوي داده ها را در قسمت columns in Samples وارد مي کنيم.

3-در قسمت Options سطح اطمينان مورد نظر را وارد مي کنيم .

4-دکمه ok را می زنیم.

 5-مقدار خروجي شامل مقدار ميانگين، انحراف استاندراد نمونه و فاصله اطمينان مي باشد.

برای حدود 95% برابر است با:

برای حدود 99% برابر است با: