تعیین اندازه نوار محافظ و حد پذیرش

تعیین اندازه نوار محافظ و حد پذیرش

اندازه نوار محافظ g و در پی آن، حد پذیرش طوري انتخاب مي­ شود که الزامات قاعده تصميم­ گيري برآورده شود و به موارد زیر بستگی دارد;

1. مقدار عدم قطعیت;
2. حداقل سطح قابل قبول احتمال P که اندازه ­ده درون حدود مشخصات قرار مي­گيرد (یا معادل آن، حداکثر سطح قابل قبول احتمال که مقدار اندازه­ ده در حدود مشخصات قرار نمی­گیرد); و
3. دانش موجود درباره توزیع مقادیر محتمل اندازه ­ده

در جایی­ که عدم قطعیت نسبی استاندارد کمتر از 15٪ تا 20٪ باشد، توزیع داده ­ها می­تواند نرمال در نظر گرفته شود.  اندازه g برابر با ku ، همانند حالت­های 1a و 1b در پایین خواهد بود. اگر درجه ­های موثر آزادی مشخص باشند، مقدار k از توزیع t،  همانند حالت 2 بدست می­آید.

در بقیه حالت­ ها در جایی­ که مشخص شده مقدار اندازه ­گیری بیشتر از صفر است اما عدم قطعیت نسبی استاندارد بیشتر از 20٪ است، ممکن است توزیع نرمال مناسب نباشد. بنابراین اندازه g از شکل توزیع و مقدار مورد نظر p همانند حالت 3 و 4  تعیین می شود.

در برخی مراجع،  تعدادی توزیع احتمالی که می­تواند مورد استفاده قرار گیرد وجود دارد، به عنوان مثال لگاریتمی-نرمال، بتا و گاما که نتایج قابل مقایسه ­ای برای عدم قطعیت نسبی به بزرگی تا 50٪  را ارائه می­دهد. راهنمایی­ بیشتر برای تعیین توزیع بر اساس دانش موجود را می­توان در JCGM 101: 2008 یافت.. هنگامی که مدل معادله برای محاسبه مقدار کمیت شامل ضرب/تقسیم مقادیر مثبت است، پس ­زمینه ­های خوبی برای  استفاده از توزیع لگاریتمی-نرمال همانطور که در مورد 4 شرح داده شده وجود دارد.

حالت 1a – عدم قطعیت استاندارد در دسترس است

در این حالت، برای عدم قطعیت نسبی استاندارد کمتر از 20٪، اندازه نوار محافظ برابر با ku  خواهد شد و مقدار k نیز  یا  در  قاعده تصمیم گیری تعیین شده یا از توزیع احتمال مقادیر نسبت داده شده  به اندازه­ ده، که معمولاً نرمال فرض می­شود، به دست خواهد آمد.

اساس این فرض و شرایطی که تحت آن این حالت مي­تواند مناسب باشد، در  GUM آمده است. فرض بر اساس استفاده از قضیه حد مرکزي پایه گذاري شده و  اشاره می­کند که: ( …… اگر عدم قطعیت استاندارد مرکب u، به طور عمده تحت تأثير مؤلفه عدم قطعيت استاندارد به دست آمده از نوع  A، ارزشیابی فقط بر اساس چند مشاهده، و يا تحت تأثير مؤلفه عدم قطعيت استاندارد به دست آمده از نوع B، ارزشیابی بر اساس توزیع مستطیلی، قرار نگیرد، اولین تقریب منطقی براي محاسبه عدم قطعیت گستردهU ، که بازه ­ای را با سطح اطمینان p فراهم می­کند، استفاده از مقدار توزیع نرمال براي k است.)

در بسیاري از موارد، از مقدار k=2 استفاده می­شود. با فرض این که توزیع تقریباً نرمال است، این مقدار برابر با سطح اطمینان تقریبی 95% است و براي مقدار مشاهده شده x، مقدار اندازه ­ده در بازه x±2u قرار می­گیرد. بر این اساس، احتمال آن که مقدار اندازه­ ده کمتر از x+ 2u باشد، تقریبا 97.7% است. در متداول ­ترین حالت، جهت ارائه دلیل انطباق با یک حد بالا، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده و فرض k=2 و جهت ارائه دليل واضع عدم انطباق، معادل تنظیم مقدار نوار محافظ در g=+2u است. اگر مقدار مشاهده شده، از حد به علاوه g  تجاوز کند، آنگاه مقدار اندازه ­ده با حداقل 97.7% اطمينان، فرای حد است. در نتيجه اين وضع در مقايسه با تصميم ­هاي بر پايه آزمون­ های معناداري یک طرفه در 95% اطمینان(یعنی k=1.64u)، به تصميم­ هاي عدم انطباق غلط کم­تري منجر خواهد شد.

چنانچه به کارگيري تصميم­ ها در ديگر سطوح اطمينان مهم باشد، آنگاه مقدار k را مي توان از جداول  یا نرم­ افزار­های آماری در سطح اطمینان مناسب به دست آورد.

با این حال، در بخش G1.2، GUM اشاره می­شود، از آنجایی که مقدار U در بهترين حالت تنها يک تقريب است، لذا معمولاً تلاش جهت تمایزگذاري بین سطوح اطمینان مشابه و نزدیک به هم) براي مثال سطح اطمینان 94% و 96%) کار خردمندانه ­اي به نظر نمی ­آید،  به علاوه، GUM اشاره می­کند که رسیدن به بازه­ هاي با سطوح اطمینان 99% یا بالاتر، به خصوص مشکل می­باشد.

حالت 1b-عدم قطعیت گسترده با ضریب پوششی K بیان شده در دسترس می­باشد

U را بر مقدار  K ارائه شده (معمولا 2) تقسیم کرده و مقدار نوار محافظ را با استفاده از مقدار بازبینی شده وK  متناسب با کاربرد آن،  همانند حالت 1a، تعیین کنید.

حالت 2-عدم قطعیت استاندارد همراه با درجات آزادي مؤثر در دسترس هستند

در این حالت، فرض جاری این است که مقادیري که می­توانند به اندازه­ ده نسبت داده شوند، از توزیع t با درجات آزادی مشخص تبعیت کرده و از حد بالا یک طرفه 95%  برای توزیع t جهت ضریب پوشش k استفاده کنید. اندازه باند محافظ ku خواهد بود، یک مثال در خصوص مطابقت با حد بالا در شکل 3  نشان داده شده است.

رویکرد جایگزین که ضمن استفاده از تعداد درجات آزادي مؤثر از مشکلات مربوطه اجتناب می­­کند، توسط آقایان ويليامز و کاکر و جونز  ارائه شده است.

حالت 3- مؤلفه های منفرد و توزیع ها در دسترس هستند

چنانچه توزیع هاي احتمال متغیرهاي ورودي معلوم بوده و مقدار اندازه­ ده به طور خطی با این کمیت­ هاي ورودي مرتبط باشد، آنگاه توزیع احتمال مقادیر نسبت داده شده به اندازه­ ده مي­تواند با ترکيب اين توزيع­ ها محاسبه شود. این کار را می­توان با استفاده از روش مونت کارلو جهت انتشار توزیع احتمال انجام داد و نتایج توزیع را برای محاسبه سطح اطمینان مورد نیاز به کار می­رود. برای استفاده معمول از روش کانولوشن، توزیع مونت کارلو ، باید با توزیع ­های شناخته شده دیگر مقایسه شود و به احتمال زیاد در بسیاری از حالت ­ها نشان می­دهد که توزیع لگاریتمی-نرمال یک تناسب خوب است. شایان ذکر است که روش مونت کارلو برای هر مدل اندازه ­گیری که مجموعه ­ای از مقادیر ورودی را به اندازه­ ده نسبت می­دهد، قابل کاربرد است.

حالت 4: توزيع های نامتقارن

در اصطلاح هاي عمومي بخش G5.3، GUM، توضیح حالتی که در آن یک کمیت ورودي به صورت نامتقارن توزیع می­­شود، ارائه شده است. اشاره مي­کند که (اين وضع، محاسبه u را تحت تأثیر قرار نمی­­دهد، اما ممکن است محاسبه U را تحت تاثیر قرار دهد) به طور کلي، سه وضعيت مهم وجود دارند که در آن بازه ­هاي اطمينان نامتقارن براي تصميم­ گيري لازم هستند:

1. وقتي توزيع (فرضي) اندازه ­ده، X، به طور ذاتی نامتقارن باشد (نظیر توزیع پوآسون با تعداد درجات آزادي کم) ;
2. وقتی عدم قطعیت استاندارد نسبی بزرگتر از 20٪  ثابت باشد ;
3. هنگامی که پاسخ اندازه­ ده،X ، نزدیک به محدودیت فیزیکی است (به عنوان مثال غلظت­های مشاهده شده نزدیک به صفر باشند).

در حالت­ های a وb­، هنگامی که داده ­ها برای نشان دادن عدم تقارن توزیع موجود استفاده می­شوند، حدود سطح اطمینان می­تواند مانند حالت 3 در بالا محاسبه شود. اولین وضعیت،a ، براي مثال در اندازه­ گیري­ هاي رادیواکتیویته با تعداد کم رویدادهاي آشکارسازي شده مشاهده می ­شود.

حالت سوم، C، در اندازه ­گیري ­هاي نزدیک به حد تشخیص یا تعیین و یا وقتی که تعریف یک متغیر به یک بازه ویژه محدود شده باشد، مشاهده مي­شود،  در این حالت ممکن است لازم باشد از توزیع کوتاه شده استفاده کنید.

برای بسیاری از اندازه­ گیری ­های تحلیلی­، مقدار اندازه­ ده، مثبت و مدل شناخته شده و مدل معادله شامل محصول یا نسبت مقادیر مثبت است. سپس برای حالت­های b و  c توزیع لگاریتمی-نرمال، که اغلب مناسب است، استفاده می­شود.

با فرض اینکه توزیع مقادیر قابل انتساب به اندازه­ ده، لگاریتمی-نرمال است محدوده ­های پذیرش را می­توان با استفاده از ضریب عدم قطعیت گسترده محاسبه کرد .

^FU=exp(KS_G)                                                                              معادله 1

در جایی­که S_G انحراف استاندارد در فضای  loge_e است، (لگاریتم­های طبیعی)، برای u_rel کمتر از 0.5 (50%)        SG ≈u_rel  است و ضریب عدم قطعیت را می­توان به شکل زیر محاسبه کرد:

^FU≈exp(K u_rel)                                                                              معادله 2

که در آن ضریب پوشش k مقدار بالا توزیع نرمال استاندارد در سطح اطمینان مورد نظر است.

حد بالای پذیرش برای سطح اطمینان بالا از رد صحیح  بنابراین برابر است با:

L_U × ^FU                                                                                    معادله 3

و حد بالای پذیرش برای سطح اطمینان بالا از پذیرش صحیح  برابر است با:

                                      L_U / ^FU                                                                                    معادله 4

باند محافظ برای حد بالا جهت سطح اطمینان بالا از رد صحیح را می­توان به صورت زیر محاسبه کرد:

g=L_U × ^FU – L_U                                                                                  معادله 5

در مقایسه با توزیع نرمال، اندازه نوار محافظ برای حد بالا، جهت رد صحیح افزایش خواهد یافت (شکل  3aرا ببینید). و برای پذیرش صحیح کاهش خواهد یافت(شکل  3bرا ببینید) که به دلیل عدم تقارن توزیع لگاریتمی-نرمال است، به  عنوان مثال نوارهای محافظ برای یک توزیع نرمال و لگاریتمی-نرمال با یک حد بالا L=100، K=1.64 و U_REL برابر با 0.3 و 0.5نسبی، به ترتیب در جدول 1 آمده است. عدم قطعیت استاندارد  نسبی 0.3 و 0.5 به ترتیب منجر به عدم قطعیت گسترده 60% و 100% می­شوند.

با در نظر گرفتن U_rel، حدود پذیرش برای توزیع نرمال عبارت است از:

L(1-K u_rel) و L(1+K u_rel)

و برای لگاریتمی-نرمال:

L(exp(-K u_rel)) و L(exp(K u_rel))

برای توزیع لگاریتمی­-نرمال معادلات را می­توان گسترش داد (با استفاده از گسترش معمول برای exp(x))

و    

که در آن “……” بیانگر شرایط فراتر در گسترش معادله است. وقتی شرایط فراتر از K u_rel مورد نظر باشند، استفاده از توزیع لگاریتمی-نرمال باید در نظر گرفته شود. در=20%  U_REL و k=1.64 ، افزایش ضریب محاسبه حد پذیرش، برای رد صحیح حدود 5٪ در مقایسه با استفاده از خواهد بود.