احتمال انطباق و ریسک

احتمال انطباق و ریسک

مقادیر Y که در بازه رواداری قرار می­گیرند،  نشان دهنده احتمال انطباق اندازه ­ده هستند که می­تواند منجر به بوجود آمدن نتیجه اندازه ­گیری شود. برای توزیع گاوسی، سطح زیر PDF که با این مقادیر تعریف شده،  احتمال انطباق P_C است

برای مثال، در شکل زیر منطقه سایه دار PDF در بازه  رواداری است و مقادیر منطبق اندازه­ ده که می­تواند با نتیجه اندازه گیری مرتبط باشد را نشان می دهد. در حالی که منطقه بدون سایه نشان دهنده مقادیر غیر منطبق اندازه ­­ده است که به همین ترتیب می­توان به نتیجه اندازه­ گیری نیز نسبت داد.

انتگرال های مشخص  PDF گاوسی را می­توان با استفاده از تابع NORM.DISTدر اکسل  محاسبه کرد، در جایی­که

بنابراین احتمال انطباق برای یک حد بالا برابر است با:

به طور مشابه، احتمال انطباق برای یک حد  پایین برابر است با:

بنابراین احتمال انطباق برای یک محدوده دو طرفه نیز برابر است با:

برای مثال، در حالت نشان داده شده در بالا، فرض کنید

معادلات مربوطه برای محاسبه احتمال انطباق برای توزیع 𝑡 با 𝜈 درجه آزادی عبارتند از:

احتمال انطباق برای یک حد بالا

احتمال انطباق برای حد پایین

و احتمال انطباق برای یک حد دو طرفه

به عنوان مثال، در مورد نشان داده شده در بالا فرض کنید که:        

بنابراین

با آگاهی از احتمال انطباق، ارزیابی ریسک مرتبط با تصمیم ­گیری برای پذیرش یا رد یک نتیجه امکان پذیر می­شود. به عنوان مثال، تصمیمی را بر اساس اندازه­ گیری برخی از ویژگی­ های اقلام، که مشخصات آن دارای حد رواداری کمتری است، در نظر بگیرید. 𝑇_𝐿 یک بازه یک طرفه رواداری را برای[𝑇_𝐿,∞) : 𝐶 تعریف می­کند،  وقتی مقدار اندازه­گیری شده Y_m نزدیک به مقدار حد باشد، بخشی از PDF را می­توان هم بالا و هم زیر حد قرار داد. در این حالت دو سناریو امکان پذیر است:

.a مقدار اندازه ­گیری شده در بازه راداری است. T_L≤ Y_m

مقدار Y_m، انطباق را نشان می­دهد. هرچند  مقادیری احتمالی برای اندازه ­ده (منطقه بدون سایه) وجود دارد که انطباق ندارند. اگر تصمیمی در جهت انطباق قلم با این ناحیه اتخاذ شود، ناحیه بدون سایه احتمال پذیرش غلط را نشان می دهد (PFA).

.b مقدار اندازه ­گیری شده خارج از بازه رواداری است. T_L> Y_m

مقدار Y_𝑚 نشان می­دهد که قلم انطباق ندارد، با این حال مقادیر احتمالی برای اندازه­ده وجود دارد که انطباق دارد. اگر تصمیمی مبنی بر نامنطبق بودن، اتخاذ شود، منطقه سایه دار نشان دهنده احتمال رد غلط (PFR) است.

توجه داشته باشید که در برخی شرایط،  احتمال پذیرش و رد غلط “ریسک ویژه مصرف ­کننده” و “ریسک ویژه تولید­کننده ” نامیده می­شود- وقتی کالایی به غلط پذیرفته شده باشد، مصرف­ کننده است که  متحمل هزینه می­شود، در حالی که وقتی کالایی به غلط رد می­شود، این تولید­کننده است که  متحمل هزینه می­شود.

این مثال ها همچنین رابطه بین احتمال انطباق و ریسک “ویژه” مرتبط را نشان می­دهد:

C.7                                  (فقط در صورتی که انطباق پذیرش شده، قابل استفاده است)                        PFA=1-Pc     

C.8                                  (فقط در صورتی که انطباق رد شده، قابل استفاده است)                                 PFR=Pc  

برای مثال ، در حالت a فرض کنید که)

بنابراین

یعنی

اگر در این حالت تصمیمی برای “پذیرش” گرفته شود، احتمال پذیرش غلط برابر با:

زیرا از نظر آماری، 5٪ از مقادیر نامنطبق احتمالی برای اندازه­ ده می­تواند منجر به نتیجه Y_𝑚 “منطبق” شود

به همین ترتیب، فرض کنید در حالت b) در بالا ما داشته باشیم

یعنی

اگر در این حالت تصمیمی برای “رد” گرفته شود، احتمال رد غلط برابر با:

زیرا از نظر آماری، 5٪ از مقادیر منطبق احتمالی برای اندازه­ ده می­تواند منجر به نتیجه Y_𝑚 “نامنطبق” شود

برای محدود کردن یا به حداقل رساندن ریسک تصمیم ­گیری غلط، می­توان محدودیت­هایی را برای مقادیر اندازه ­ده که به عنوان منطبق، پذیرفته یا رد می­شوند، قرار داد. این محدودیت­ ها ی ک بازه پذیرش A را تعریف می­کنند. اختلاف بین بازه پذیرش و بازه رواداری،  نوار محافظ است

انتخاب محل قرارگیری حدود بازه پذیرش 𝐴_𝑈 و/یا 𝐴_𝐿 هر دو مقدار  𝑃𝐹𝐴_𝑚𝑎𝑥 را تعیین می­کند، یا به جای آن، انتخاب 𝑃𝐹𝐴_𝑚𝑎𝑥 حدود پذیرش را تعیین می­کند. 𝑃𝐹𝐴_𝑚𝑎𝑥 بزرگترین مقداری است که 𝑃𝐹𝐴 برای تصمیم پذیرش می­تواند داشته باشد، به همین ترتیب، 𝑃𝐹𝑅_𝑚𝑎𝑥 بزرگترین مقداری است که PFR می­تواند برای تصمیم رد داشته باشد. یک فرم مشترک از نوار محافظ برای ایجاد حداقل 95٪  اطمینان در تصمیم­ گیری برای پذیرش نتیجه انتخاب می­شود (مطابق با یک مقدار اندازه­ده Y_m با عدم قطعیت استاندارد u_m مرتبط) به عنوان مثال

حدود پذیرش به گونه­ای انتخاب می­شود که 𝑃𝐹𝐴_𝑚𝑎𝑥 = 5% باشد، برای یک بازه رواداری یک طرفه، نوار محافظ مربوطه برابر با 𝑤 = 1.645u_m است. برای احتمال پوشش یکسان، وقتی که فقط یک طرف PDF به طور قابل توجهی با یک حد رواداری همپوشانی داشته باشد، ضریب نوار محافظ یک طرفه یکسان برای یک بازه رواداری دو طرفه اعمال می­شود. اگر همپوشانی قابل توجهی از هر دو حد رخ دهد، روش تعیین شده در پیوست D را برای ایجاد یک ضریب نوار محافظ مناسب می­توان دنبال کرد.

توجه داشته باشید، در شرایطی که اندازه­گیری به طور بالقوه منجر به مقدار متفاوتی از 𝑢_𝑚 در هر بار اندازه­گیری می­شود، به مانند مواردی که معمولاً در سناریوهای کالیبراسیون اتفاق می­افتد، به احتمال زیاد ارزیابی P_C (از این رو PFA یا  PFR) به صورت موردی ضروری است. در چنین شرایطی، بازه مربوط به 𝑃𝐹𝐴 (یا 𝑃𝐹𝑅) به صورت موردی متفاوت است و نمی­توان به صورت پیش ­بینی حد قبولی را تعریف کرد (یعنی قبل از انجام اندازه­گیری و ارزیابی 𝑢_𝑚).

به همین ترتیب، اگر یک نوار محافظ به دلخواه تعریف شود یا از نظر 𝑢_𝑚  تعریف نشود. برای گزارش 𝑃𝐹𝐴 (یا 𝑃𝐹𝑅) محاسبه  P_C لازم است.

با این حال، اگر عدم قطعیت ثابت تشخیص داده شده باشد، همانطور که معمولاً برای سناریوهای اندازه­گیری مانند آزمون تولید یا سایر سناریوهایی که در آنها عدم قطعیت تحت تأثیر خود فرایند، اتفاق می­افتد، سپس یک حد پذیرش ثابت می­تواند محاسبه شود که مربوط به 𝑃𝐹𝐴_max باشد.

در موقعیت ­های عملی، گاهی اوقات مقدار دقیق  𝑃𝐹𝐴 ممکن است که به عنوان یک نتیجه منحصرمورد توجه نباشد. پس انطباق می­تواند با PFA≤PFA_max و با الزام تنها اینکه مقدار Y_m در بازه پذیرش باشد، ایجاد شود.