تحليل ماركوف
بررسي اجمالی
تحليل ماركوف در شرايطي استفاده مي شود كه حالت آينده سيستم فقط وابسته به حالت فعلي آن باشد. معمولاً براي سيستم هاي قابل تعمير استفاده مي شود كه مي توانند چند حالت داشته باشند و استفاده از تحليل قابليت اطمينان مي تواند براي تحليل كارايي اين سيستم ها نامناسب باشد. روش مي تواند براي سيستم هاي پيچيده توسط به كارگيري فرآيندهاي ماركوف بالاتر با مدل سخت گيرانه تر، محاسبات رياضي و فرضيات تعميم داده شود.
فرآيند تحليل ماركوف تكنيك كمي است و مي تواند گسسته (با استفاده از احتمال تغييرات بين حالات) يا پيوسته (استفاده از نرخ تغييرات بين حالات) باشد.
هنگامي كه تحليل ماركوف دستي صورت گيرد، ماهيت تكنيك خودش را به سمت استفاده از برنامه هاي كامپيوتري كه بسياري از آنها در بازار موجود است، سوق مي دهد.
كاركرد
تكنيك تحليل ماركوف مي تواند در ساختار سيستم هاي متفاوتي، با تعمير يا بدون تعمير، استفاده شود و شامل:
- اجزاي مستقل كه موازي هستند؛
- اجزاي مستقل كه سري هستند؛
- سيستم اشتراك گذاري بار؛
- سيستم آماده به كار، شامل مواردي كه انتقال خرابي مي تواند رخ دهد؛
- سيستم هاي خراب شده.
تكنيك تحليل ماركوف همچنين مي تواند براي محاسبه دسترسپذيري استفاده شود و شامل محاسبه اجزا يدكي براي تعميرات است.
ورودي ها
ورودي هاي اساسي براي تحليل ماركوف شامل موارد زير است:
- ليست حالات مختلف سيستم، زير سيستم يا اجزا (به عنوان مثال كاملاً عملياتي، بخشي عملياتي (حالت تخريب)، حالت خرابي، غيره)؛
- درك واضحي از مراحل تغيير ممكن كه لازم است مدل شوند. براي مثال، خرابي تاير خودرو نياز به درنظر گيري چرخ يدك دارد و ازاينرو نياز به بازرس دورهاي دارد؛
- نرخ تغييرات از حالتي به حالت ديگر، به صورت معمول توسط احتمال تغييرات بين حالات براي پيشامدهاي گسسته، يا نرخ خرابي (λ) و/يا نرخ تعمير (μ) براي پيشامدهاي پيوسته بيان مي شود.
فرآيند
تكنيك تحليل ماركوف براي مفاهيم «حالات» است- به عنوان مثال «دسترس پذيري» و «خرابي»- و تغيير بين اين دو حالت در طول زمان مبنايي براي احتمال ثابت تغيرات است. ماتريس احتمال انتقال اتفاقي براي تشريح تغيير بين هركدام از حالات براي محاسبه نتايج مختلف استفاده مي شود.
براي نشان دادن تكنيك تحليل ماركوف، سيستم پيچيده اي كه مي تواند فقط سه حالت؛ عملكرد، تخريب شده و خراب كه با S1 ،S2 ،S3 تعريف شده اند در نظرگرفته شده است. هر روز سيستم در يكي از اين حالات قرار دارد. جدول ب.3 احتمال حالت فردا را كه سيستم در حالت Si كه i مي تواند 1 و 2 و 3 باشد.
اين مجموعه احتمالات، ماتريس ماركوف يا ماتريس انتقال است. جمع هركدام از اين ستون ها يك است و آنها جمع كليه نتايج ممكن در هر مورد است. سيستم همچنين مي توان توسط نمودار ماركوف كه حالت چرخه اي دارد ارائه شود كه فلش ها انتقالات را همراه با احتمالات همراه آنها بيان مي كند.
فلش حالتي به خودش معمولاً نشان داده نمي شود، اما در اين مثال براي كامل بودن نشان داده شده است.
Pi احتمال حضور سيستم در حالت i براي 3,2,1=i را بيان مي كند و سپس معادلات همزمان بايد حل شود:
(1.ب) P1 = 0.95 P1 + 0.30 P2 + 0.20 P3
(2.ب) P2 = 0.04 P1 + 0.65 P2 + 0.60 P3
(3.ب) P3 = 0.01 P1 + 0.05 P2 + 0.20 P3
اين سه معادله مستقل نيستند و نمي توان سه مجهول را پيدا كرد. معادله زير بايد مورد استفاده قرار گيرد و يكي از معادلات فوق كنار گذاشته شود.
(4.ب) 1 = P1 + P2 + P3
جواب بترتيب براي حالت 2،1 و 3 عبارت از 85.0 ،13.0 و 02.0 است. سيستم براي 85 درصد زمان به صورت كامل فعاليت مي كند، در 13 درصد از زمان در حالت افت قرار دارد و در 2 درصد زمان خراب است.
در نظرگيري دو آيتم عمليات كه موازي با يك ديگر هستند نياز به عمليات سيستم براي فعاليت دارد. آيتم ها مي توانند عملياتي يا خراب باشند و در دسترس بودن سيستم بستگي به حالت آيتم ها دارد.
اين حالات مي تواند شامل:
حالت 1 هر دو آيتم از نظر فعاليت سالم هستند؛
حالت 2 يك آيتم خراب و تحت تعمير است و ديگري فعال است؛
حالت 3 هر دو آيتم خراب و يكي تحت تعمير است؛
اگر نرخ خرابي ها براي هر آيتم پيوسته باشد λ و نرخ تعميرات μ فرض مي شود سپس نمودار تغييرات شامل:
انتقال از حالت يك به حالت دو داراي 2λ به عنوان خرابي است براي هر دو آيتم است كه سيستم را به حالت دو مي رساند.
(t(Pi احتمال حالت اوليه i در زمان t است؛ و
(δt+t(Pi احتمال حالت نهايي در زمان δt+t است.
ماتريس احتمال انتقال شامل:
به وضوح روشن است كه ارزش صفر در انتقال از حالت يك به حالت سه يا از حالت سه به حالت يك ممكن نيست. همچنين، هنگام تعيين نرخ جمع ستون صفر مي شود.
معادلات همزمان مي شود:
(5.ب) dP1/dt = -2λP1(t) +μP2(t)
(6.ب) dP2/dt = 2λP1(t) + -(λ+μ)P2(t) +μP3(t)
(7.ب) dP3/dt =λP2(t) +-μP3(t)
براي سادگي، فرض مي شود كه دسترسي هاي مورد نياز حالت، در دسترس هستند.
هنگامي كه δt به بي نهايت ميل مي كند، dt/dpi به صفر متمايل مي شود و معادله براي حل ساده تر مي شود. معادله اضافه كه در معادله (ب.4) نشان داده شده است همچنين استفاده مي شود:
اكنون معادله A(t) = P1(t) + P2(t) می تواند بيان شود:
A = P1 + P2
A = (μ2 +2λμ)/(μ2+2λμ+λ2
خروجي ها
خروجي تحليل ماركوف احتمالات متفاوت از حالات مختلف است و بنابراين تخميني از حالات خرابي و/يا دسترس پذيري يكي از اجزاي اساسي سيستم است.
نقاط قوت و محدوديت ها
نقاط قوت تحليل ماركوف شامل موارد زير است:
- توانايي محاسبه احتمالات براي سيستم هاي با قابليت تعمير و حالات تخريب متفاوت.
محدوديت هاي تحليل ماركوف شامل موارد زير است:
- فرض احتمال ثابت تغيير حالت؛ براي خرابي يا تعميرات؛
- كليه پيشامدها از نظر آماري مستقل هستند و حالات آينده مستقل از تمام حالات گذشته هستند، بجز حالات قبلي نزديك؛
- نياز به دانش كليه احتمالات حالات تغيير دارد؛
- دانش عمليات ماتريس؛
- نتايج با پرسنل غير فني سخت ارتباط برقرار مي كند
مقايسه
تحليل ماركوف مشابه تحليل شبكه پتري در پايش و مشاهده حالت سيستم است، اگرچه از شبكه پتري متفاوت است و مي تواند حالات مختلف را در زمان واحد در نظر بگيرد.
سند مرجع
IEC 61078, Analysis techniques for dependability – Reliability block diagram and Boolean
methods
IEC 61165, Application of Markov techniques
ISO/IEC 15909 (all parts), Software and systems engineering – High-level Petri nets
