آمار بيزی و شبكه های بيز

آمار بيزی و شبكه های بيز

بررسي اجمالی آمار بيزی

آمار بيزی به كشيش توماس بيز نسبت داده مي شود. آمار بيزی فرض مي كند هرگونه اطلاعات شناخته شده (از قبل) مي تواند با اندازه هاي بعدي (پسين) تركيب شود تا احتمال كلي تخمين زده شود.

حالت كلي قضيه بيز مي تواند به صورت زير بيان شود:

كه
احتمال X با (X) P مشخص شده است؛
 احتمال X به شرط آنكه Y اتفاق افتاده باشد با (Y|X(P مشخص شده است؛ و Ei پيشامد i ام است. در ساده ترين حالت معادله به شكل زير كاهش مي يابد:

آمار بيزي از آمار كلاسيك متفاوت است و در آن فرض نمي شود كه تمام پارامترهاي توزيعي ثابت هستند، اما آن پارامترها متغير تصادفي هستند. احتمال بيزي خيلي راحت تر درك مي شود چون درجه اعتقاد افراد به پيشامد مشخصي را در نظر بگيرد كه مخالف آمار كلاسيك است كه بر پايه شواهد فيزيكي است. در رويكرد بيزي كه بر اساس تفسير ذهني احتمالات است، پايه اي براي تصميم گيري و ايجاد و توسعه شبكه هاي بيزي فراهم مي كند(يا شبكه هاي اعتقادي ، شبكه هاي بيزي). 

شبكه هاي بيزي از مدل نمايشي براي بيان مجموعه اي از متغيرها و روابط احتمالي آن ها استفاده مي كند. اين شبكه تشكيل شده از گره هايي است كه متغير تصادفي را بيان مي كنند و با پيكان هايي از گره والدين به گره فرزندان ارتباط برقرار مي كند (كه در آن گره والدين متغيري است كه مستقيماً تحت تأثير متغير ديگر است).

 

كاركرد

در سال هاي اخير استفاده از تئوري و شبكه هاي بيز نسبتاً گسترده شده است كه بدليل جذبه بصري و همچنين در دسترس بودن ابزارهاي محاسبه نرم افزاري آن است. شبكه هاي بيز در طيف
وسيعي از موضوعات استفاده مي شود: تشخيص پزشكي، مدل سازي تصوير، ژنتيك، تشخيص گفتار، اقتصاد، اكتشاف فضايي و در موتورهاي جستجوي قدرتمند امروزه كاربرد دارد. آنها مي توانند در هر زمينه اي ارزشمند است كه الزاماتي در مورد پيدا كردن متغيرهاي شناخته نشده از طريق استفاده از روابط ساختاري و داده ها باشد. شبكه هاي بيز مي تواند براي آموزش روابط علّت و معلولي استفاده شود و دركي در مورد دامنه مسئله و پيش بيني مداخله پيامدها بدهد.

 

ورودي ها

ورودي ها مشابه ورودي هاي مدل مونت كارلو است. براي شبكه بيز، مثالي از مراحلي كه بايد انجام شود شامل شرح زير است:

• تعريف متغيرهاي سيستم؛
• تعريف ارتباط علّت و معلولي بين متغيرها؛
• مشخص كردن احتمالات شرطي و پيشين؛
• اضافه كردن شواهد به شبكه؛
• به روزرساني عقايد؛
• استخراج عقايد پسين.

 

فرآيند

تئوري بيز را مي توان براي طيف وسيعي از روش ها به كار برد. اين مثال ايجاد جدول بيز را در نظر مي گيرد كه براي تست پزشكي و تعيين بيماري بيمار استفاده مي شود. اعتقاد قبل از تست به عنوان اطلاعات پيشين اين است كه 99 %جمعيت قبل از تست اين بيماري را ندارند و 1 %اين بيماري را دارند. دقت تست نشان مي دهد كه اگر فردي اين بيماري را داشته باشد، نتايج تست در 98 %موارد مثبت است. همچنين احتمال اينكه شما اين بيماري را نداشته باشيد و نتيجه تست مثبت باشد 10 % است. جدول بيز اطلاعات زير را فراهم كرده است:

با استفاده از قانون بيز، احتمال توليد شده با تركيب پيشين و احتمال تعيين مي شود. احتمال پسين از ارزش احتمال توليد شده بر احتمال كل حاصل مي شود. نتايج نشان مي دهد كه نتيجه تست مثبت از 1 %به 9 %افزايش پيدا كرده است. از همه مهم تر، احتمال قوي وجود دارد كه حتي با آزمايش مثبت، داشتن بیماری بعید باشد. بررسی معادله (0/01×0/98) / ((0/01×0/98) + (0/99×0/1)) نشان مي دهد كه «ارزش تست مثبت بدون داشتن بيماري» نقش اصلي را در ارزش هاي پسين بازي مي كند.

در نظرگيري شبكه بيز به شرح زير است:

با استفاده از شرايط احتمال پيشين تعريف شده و كه در جدول آمده است و استفاده از نماد Y براي مثبت و N براي منفي، كه مثبت به معني «داشتن بيماري» است، كه ممكن است افزوده شود و N پايين بيايد.

برای تعین احتمال پسین P (A,B|D=N,C=Y) لازم است ابتدا، P (A|D=N,C=Y) محاسبه شود.

با استفاده از قانون بيز، ارزش P(D|CA) P(C|AB) P(A) P(B) همانطور كه در زير نشان داده شده تعيين مي شود و آخرين ستون احتمال نرمال را نشان مي دهد كه جمعش يك مي شود و از مثال قبل استخراج شده است (گرد كردن نتايج).

براي استخراج P(A|D=N,C=Y) ،تمام ارزش B نياز است جمع شود:

اين نشان مي دهد احتمال P(A=N) از 0/1 تا 0/12 افزايش داشته است كه فقط تغييري كوچك است. در سوی دیگر P (B=N|D=N,C=Y)  از 0/4 تا 0/56 که تغییری مهم تر است.

 

خروجي ها

رويكرد بيزي مي تواند همانند آمار كلاسيك و در همان سطح با طيف گستردهاي از نتايج استفاده شود، به عنوان مثال تحليل داده ها به منظور استخراج تخمين نقطه اي و فاصله اطمينان. محبوبيت اخير در رابطه با شبكه بيز استخراج توزيع پسين است. نتايج تصويري درك آساني از مدل فراهم مي كند و داده ها مي توانند به آساني تغيير كند و ارتباط و حساسيت پارامترها در نظر گرفته شود.

 

نقاط قوت و محدوديت ها

نقاط قوت:

• آنچه مورد نياز است از قبل شناخته شده است؛
• اظهارات استنباطي براي درك آسان هستند؛
• قانون بيز تمام چيزي است كه مورد نياز است؛
• يك مكانيسم براي اعتقادات ذهني از مسئله فراهم مي كند؛

محدوديت ها:

• تعريف كليه رابطه هاي در شبكه هاي بيز براي سيستم هاي پيچيده مسئله ساز است؛
• رويكرد بيزي نياز به آگاهي از بسياري از احتمالات شرطي دارد كه عموماً توسط متخصصين فراهم شده است. ابزارهاي نرم افزاري صرفاً مي توانند پاسخها را بر اساس اين فرضيات فراهم كنند.